Unidades sexagesimais na Astrologia, Geometria e Natureza

Na página 112 do primeiro volume de A Ciência Antiga e Medieval, livro escrito por equipe de especialistas, sob direção de René Taton (Difusão Europeia do Livro, São Paulo, 1959), diz-se ser difícil compreender porque a unidade sexagesimal se impôs ao espírito dos sumérios. Fala-se que várias hipóteses foram propostas, procurando uma explicação para isso. Sem apresentá-las, a obra afirma que nenhuma delas parece ser determinante.

Neste texto são levantados princípios numéricos e geométricos que podem ser correlacionados com os motivos que levaram à escolha da divisão sexagesimal pelos sumérios – primeiros astrólogos-astrônomos que a história registra.

Triângulo equilátero: todos os ângulos têm 60 graus.

O triângulo, por ter três ângulos e três lados, permite associações com a Tríplice Divindade de religiões antigas, assim como com o dogma da doutrina cristã da união de Três Seres distintos em um só Deus. Em particular, o triângulo equilátero, com um dos vértices acima, é o que melhor representa esse princípio divino. Outra figura associada à Divindade é o círculo, que tem um centro definido, a partir de onde foi gerada a circunferência que o contorna. Essa linha, por ser contínua, concorda com outro atributo divino, o de não ter nem princípio nem fim. A circunferência, com seu centro, forma o símbolo do Sol, base do nosso sistema, fornecedor da luz e do calor indispensáveis à vida na Terra.

Dois triângulos isósceles no quadrado.

Todo quadrilátero plano pode ser decomposto em dois triângulos. Essa união de dois triângulos, de dois princípios divinos, gerando a figura de quatro lados e ângulos, permite associação com as quadruplicidades constitutivas de tudo que foi e é criado: Fogo, Ar, Água e Terra. Entre os quadriláteros, o quadrado, por ter lados e ângulos iguais, é o que melhor representa essas quadruplicidades. Deve-se notar que os dois triângulos que compõem o quadrado não são equiláteros. São triângulos isósceles, ou seja, possuem apenas dois lados iguais.

Considerando a soma e o produto dos números dos lados (ou dos ângulos – que são em mesmo número) dessas duas primeiras figuras planas, tem-se:

• 3 + 4 = 7
• 3 x 4 = 12

Três triàngulos isósceles no pentágono.

Todo pentágono pode ser decomposto em três triângulos. Como o pentágono é associado ao homem, isso permite ligar essa representação do ser humano à Tríplice Divindade – com a qual guardaria certa semelhança. O pentágono regular (além do estrelado – tipo de figura que não está sendo considerado agora) é o que melhor representa o ser humano. Aqui também os três triângulos, com um vértice comum, que compõem o pentágono regular, não são equiláteros. São triângulos isósceles. Em dois deles os lados iguais são lados do pentágono. E, em um deles, os lados iguais são diagonais do pentágono regular.

A soma e o produto dos números que caracterizam essas três primeiras figuras, triângulo, quadrilátero e pentágono, têm por resultados:

• 3 + 4 + 5 = 12
• 3 x 4 x 5 = 60

Nesse processo, considerando a quantidade de triângulos necessários para formar cada uma das três primeiras figuras planas (o próprio triângulo, um quadrilátero e um pentágono), têm-se os números 1, 2 e 3, que, somados e multiplicados, fornecem:

• 1 + 2 + 3 = 6
• 1 x 2 x 3 = 6

No conjunto, nessas operações, chegou-se aos seguintes resultados, em ordem crescente:

• 6, número de partes iguais em que a circunferência é dividida pelo raio. Essa sequência de três números inteiros e consecutivos, 1, 2 e 3, é a única cuja soma e o produto são iguais. O hexágono regular está presente em muitas estruturas observadas na natureza, e em soluções estruturais que visam ao melhor aproveitamento de espaço e de materiais.

• 7, número dos planetas sagrados, dos dias da criação, dos dias da semana, das cores do arco-íris e das notas musicais.

• 12, que aparece em dois resultados, como produto dos números dos lados das duas primeiras figuras geométricas, e como soma dos números dos lados das três primeiras – triângulo, quadrilátero e pentágono. É o número das horas dos dias e das noites, do claro e do escuro nos equinócios. [Ver nota complementar, no final do texto.]

• 60, o maior número do conjunto de resultados anteriores. Como acontece com a dúzia, que continua em uso pela facilidade de cálculo de suas frações, o 60 possui um número extraordinário de divisores. Talvez por isso continue intensamente em uso em medidas de tempo e de arco. Outra coisa importante, o 60 apresenta 12 divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 – o que reforça a importância do 12. Mais ainda, cada ângulo do tri-ângulo equilátero, símbolo da Divindade, mede 60°.

Deus sumeriano Anu.

François Lenormant, na página 62 e seguintes do livro Essai de Commentaire des Fragments Cosmogoniques de Bérose d’après les textes cuneiformes et les monuments de l’art asiatique (Maisonneuve et Ce., Éditeurs, Paris, 1871), diz que os nomes dos grandes deuses do panteão babilônico e assírio – herdeiros da cultura suméria – eram correlacionados com números, conforme seu grau de importância. O Deus Supremo, o primeiro e único princípio de onde derivam todos os demais deuses, era Ilu, cujo nome significa “O Deus” por excelência. Abaixo de Ilu, a fonte universal e misteriosa, vinha a tríade composta por suas três primeiras manifestações exteriores e visíveis. Essa tríade ocupava o cume da escala dos deuses no culto popular: Anu, o caos primordial, primeira emanação material do ser divino; Bel, o organizador do mundo; e Nisruk, a luz divina, a inteligência que penetra o universo, que o dirige e o faz viver. Esses deuses tinham as seguintes indicações numéricas, em ordem hierárquica:

• Anu       60
• Bel         50
• Nisruk   40

O movimento aparente do Sol, gerando os dias e as noites no lugar, leva à correlação inevitável entre medida de arco e medida de tempo. A unidade de medida de arco, o grau, e a unidade de medida de tempo, a hora, ambas, de forma análoga a Anu, também são subdivididas em 60 partes, gerando com isso os minutos de arco ( ‘ ) e os minutos de tempo ( min ). Estes, mais uma vez divididos por 60, fornecem os segundos de arco ( ” ) e os segundos de tempo ( s ).

Mais uma concordância envolvendo o número 60. A Lua permanece aproximadamente dois dias e meio em cada signo. Portanto, permanece em torno de 60 horas em cada signo.

Triângulos Equiláteros

Na área sombreada, sete palitos formam três triângulos.

Para melhor visualização das figuras, vamos pensar em três triângulos equiláteros iguais, montados com palitos sobre uma mesa, formando a metade de um hexágono regular. Bastam 7 palitos para isso, pois 2 dos lados são comuns. Nesse formato, o 3 – número de triângulos, está ligado ao 7 – número de lados, ou palitos, que formam os 3 triângulos. Se for anexada a essa figura outra igual a ela, juntas gerando um hexágono regular, os 6 triângulos equiláteros, antes formados pelos 7 mais 7 palitos, passam a ser criados, da forma mais econômica possível, por apenas 12 palitos. Na sequência dessas construções constatam-se vínculos entre os números 3, 7, 6 e 12.

O triângulo equilátero, inscrito em uma circunferência, por seus elementos constitutivos, é uma das construções geométricas que melhor pode ser associada à Divindade, pois é construído a partir de pontos da divisão da circunferência por seu raio. Se nessa circunferência forem unidos os três pontos restantes, os que não são vértices do primeiro triângulo construído, tem-se um segundo triângulo equilátero. A parte não comum a esses dois triângulos é composta por seis novos triângulos equiláteros, com lados iguais a um terço do comprimento dos lados dos primeiros. A parte comum aos dois triângulos iniciais é um hexágono regular, composto também por seis triângulos equiláteros iguais aos seis externos ao hexágono. Ou seja, dois triângulos equiláteros, inscritos em um mesmo círculo, dessa forma, geram 12 triângulos equiláteros iguais. Essas 12 Representações da Divindade podem ser facilmente associadas aos 12 signos do Zodíaco. Os 6 triângulos externos da figura, representando os signos positivos ou masculinos, e os 6 triângulos internos, menos visíveis, os signos negativos ou femininos. Esses 12 triângulos formam um conjunto com 36 lados e 36 ângulos internos iguais. Sendo uma representação zodiacal, é inerente a ela o conceito de ciclo, de repetição, do 10 do sistema decimal, onde o 1 + 0 = 1, a volta à Unidade geradora de todos outros números. No caso, o 10, a dezena, é a primeira unidade de segunda ordem. Concordando com isso também está o número do arcano Roda da Fortuna no Tarot – o 10. Esses elementos permitem que se associe o 360 à volta do círculo: 36 x 10 = 360 (a numeração com base 10, quantidade dos dedos das mãos, é a mais natural e possivelmente a mais antiga forma de contagem adotada pelo homem).

Mas há algo mais, bastante significativo, com relação ao 360. Esse número aparece como resultado do produto dos números dos lados, ou dos ângulos, dos quatro primeiros polígonos planos: triângulo, quadrilátero, pentágono e hexágono: 3 x 4 x 5 x 6 = 360. Produto que pode ser apresentado em outra forma, com expoentes decrescentes, onde as correlações geométricas são menos evidentes: 2³ x 3² x5¹ = 360.

Selo de Salomão

A figura dos dois triângulos equiláteros da figura hexagonal regular, gerados a partir do círculo, é um dos símbolos do judaísmo – conhecido como Selo de Salomão. Julien Tondriau, no livro O Ocultismo (Difusão Européia do Livro, São Paulo, 1964), diz que essa figura representa o Mundo, sendo que um dos triângulos simboliza o macrocosmo e o outro o microcosmo. Fala que seu princípio é sobretudo binário e ternário. O positivo e o negativo, a Trindade na Unidade, as triplicidades cíclicas astrológicas.

Série de Fibonacci e o Número 360

O 7 e o 12 também aparecem como resultados de somas dos primeiros termos da série de Fibonacci que começa com 1 (Um) e 1 (Um). Os termos iniciais, que somam 12, apresentam produto igual a 30 e, novamente, 12 x 30 = 360.

Leonardo Fibonacci (c. 1170-1250)

Fibonacci estudou matemática com mestres árabes no século doze. Em 1202 escreveu o Líber Abaci. Cada termo da série que tem seu nome é igual a soma dos dois precedentes. Assim a série que começa com 1 e 1 fica assim: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …. A soma dos 4 primeiros termos é igual a 7; a soma dos 5 primeiros termos é igual a 12 e o produto de 1 x 1 x 2 x 3 x 5 = 30. Em muitos vegetais a proliferação de ramificações segue uma série de números de Fibonacci. Nessas séries os quocientes de termos sucessivos convergem para um valor comum. Esse valor era conhecido na Grécia Clássica como razão áurea (PACIOLI, Luca – Divine Proportion, Compagnons du Devoir, 1980, Paris), porque expressa relação ideal entre dimensões harmônicas, frequentemente observada na natureza (DOCZI, György – O Poder dos Limites, Harmonias e Proporções na Natureza, Arte & Arquitetura, Mercuryo, São Paulo, 1990). Essa proporção foi intensamente utilizada em construções arquitetônicas e objetos de arte, sendo ainda bastante utilizada em composições artísticas.

Do livro de J. B. P. Marcoz, Astronomie Solaire D’Hipparque, soumise a une critique rigoureuse, Chez de Bure Frères, Libraires du Roi et de la Bibliothéque Royale, Paris, 1828 (página 102 e seguintes).

Hiparco, talvez o primeiro a ter observado que o ano possui a duração próxima de 365 dias e 6 horas, diz que os caldeus utilizavam períodos de 60, com múltiplos de 6 e de 10.

Marcoz, falando de relações gerais do número 6 com a astronomia, observa que:

• há 6 signos do zodíaco sobre o horizonte e 6 signos abaixo dele;
• os intervalos de tempo que separam os solstícios e os que separam os equinócios são de 6 meses;
• as estrelas, nos monumentos caldeus e persas, possuem 6 raios;
• nos eclipses da Lua, há 6 signos de distância do Sol à Lua;
• o período da sequência dos eclipses, com diferença de dias, é de 3 vezes 6 anos.

NOTA: Dicionário Aurélio – Verbete: saros [Do assírio-babilônico sharu, através do grego sáros.] Intervalo de tempo em que os eclipses se repetem aproximadamente na mesma sequência (embora a sua visibilidade seja deslocada em cerca de 120º para oeste) na superfície terrestre, e que compreende 6.585,32 dias, ou 18 anos, 11 dias e 8 horas.

[Esse período já era conhecido pelos caldeus e assírios, que por intermédio dele previam os eclipses. Sinônimo: ciclo dos caldeus, ciclo dos saros.]

Continuando, Marcoz diz:

• 6 multiplicado por 6 dá 36;
• todas as potências de 6 sempre terminam em 6;
• há 36 decanatos no zodíaco, quadrado de 6;
• o paralelo geográfico que passa por Rhodes, conforme Hiparco, Ptolomeu, Theon e outros, está exatamente a 36° de latitude, cuja raiz é 6;
• a soma de todos os números, de 1 a 36, forma 666, igual a 6 vezes 111. Esse número 666 é o do quadrado mágico dos antigos, chamado de Selo do Sol, exposto, entre outros, por Kircher, em Oedipus Aegyptius. Cada uma de suas 6 colunas e de suas 6 linhas, assim como das diagonais, somam 111. A totalidade dos números utilizados para formar essa figura é 36, quadrado de 6.

Continua o autor: observa-se, evidentemente, por essa atribuição, que o número 6 era reputado como pertencente ao Sol. Fala ainda que Plínio considerava o número 60 como divisor do mundo em 6 partes, que na totalidade tem 360.

Selo ou Quadrado Mágico do Sol

Além do tríplice 6 (666), o 111, nesse quadrado solar, por ser formado por 3 algarismos “1”, por 3 unidades, permite que se associe o Sol com a Tríplice Divindade.

O 6 e os Algarismos Romanos

A proporção áurea está presente em toda parte, até na espiral das galáxias.

São utilizadas 7 letras para representar todos os números em algarismos romanos: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500 e M=1000. Essas letras, escritas em ordem, do valor maior para o menor, MDCLXVI, formam o número 1666 em algarismos romanos. Ou seja, as 6 primeiras letras, nessa ordem, DCLXVI, formam o número 666. Quando se somam os algarismos que compõem 1666, obtém-se 19, número do Sol no Tarot.

A soma de dois números consecutivos da sequência dos valores correspondentes aos algarismos romanos básicos, 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000, sem considerar os zeros, perfaz sempre 6. Assim, 1+5=6; 5+10=5+1+0=6; 10+50=…1+5=6; 50+100=…6; 100+500=…6 e 500+1000=…6. No conjunto, são formados dessa forma 6 números 6.